本文來自微信公眾號： APPSO ，作者：發(fā)現(xiàn)明日產(chǎn)品的

一把長度僅為1的尺子，卻把AI送進了數(shù)學研究的最前沿陣地。

不妨設(shè)想一下：在一塊無限大的平面上擺放n個點，只要兩個點之間恰好相隔距離為1，就算作一組“單位距離點對”。那么最多能湊出多少組這樣的點對呢？

早在1946年，數(shù)學家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）就提出了這個問題。近八十年過去，數(shù)學界一直都認為，最接近正確答案的構(gòu)造方式大概類似平方網(wǎng)格——也就是把點像棋盤格子一樣整齊鋪開。

截至相關(guān)消息發(fā)布，這條討論推文已經(jīng)吸引了320萬網(wǎng)友圍觀

如今OpenAI給出了一個完全不一樣的答案。

根據(jù)OpenAI官方博客發(fā)布的內(nèi)容，其內(nèi)部研發(fā)的一款通用推理模型找到了一組全新的構(gòu)造方法，能讓n個點產(chǎn)生比平方網(wǎng)格的預(yù)期結(jié)果更多的單位距離點對。這個結(jié)論直接推翻了埃爾德什提出的、關(guān)于單位距離數(shù)至多為n^(1+o(1))的長期上界猜想。

目前這份證明已經(jīng)經(jīng)過外部數(shù)學家的校驗，還有配套論文專門講解了這個成果的研究背景與學術(shù)意義。

最值得關(guān)注的是，OpenAI明確表示，這個證明來自通用推理模型——它既不是專門為單位距離問題定制的模型，也不是專門設(shè)計的數(shù)學證明搜索系統(tǒng)。按照OpenAI的說法，這是AI第一次自主解決了一個數(shù)學分支里處于核心位置的重要公開問題。

對數(shù)學界而言，這可能只是一個困擾了學界近80年的經(jīng)典猜想被推翻；但對AI行業(yè)來說，模型已經(jīng)開始觸及科研創(chuàng)造的上游環(huán)節(jié)：提出全新思路，連接不同領(lǐng)域的知識，還能把復(fù)雜論證推進到專家可以審核確認的程度。

一個簡單問題，八十年的猜想

平面單位距離問題是組合幾何領(lǐng)域最出名的經(jīng)典問題之一。

在2005年出版的《離散幾何研究問題》（Research Problems in Discrete Geometry）一書中，作者布拉斯（Brass）、莫澤（Moser）和帕奇（Pach）評價它“大概是組合幾何里最廣為人知、也最容易解釋的問題”。組合數(shù)學家諾加·阿?。∟oga Alon）也提到，這個問題是埃爾德什本人最喜愛的問題之一，埃爾德什甚至曾經(jīng)為解決這個問題設(shè)立了獎金。

數(shù)學領(lǐng)域通常用u(n)來代表這個問題的答案：平面上放n個點時，距離恰好為1的點對最多能有多少個。研究者關(guān)心的核心，是當n不斷變大時，u(n)會按照什么樣的速度增長。

最簡單的擺放方式，是把n個點排成一條直線，相鄰兩個點間隔為1，這樣就能得到n-1個單位距離點對。

稍微復(fù)雜一點的擺放就是平方網(wǎng)格，把點像棋盤一樣排布開，每個點都可以和上下左右的相鄰點形成單位距離，這樣算下來，單位距離點對的數(shù)量大約能達到2n。

這就是此前已知的經(jīng)典構(gòu)造：通過重新縮放的方形網(wǎng)格，就能生成大量單位距離。

埃爾德什在1946年提出的構(gòu)造要更精細，他使用經(jīng)過縮放的平方網(wǎng)格，讓單位距離點對的數(shù)量達到了n^(1+C/log log n)的量級，其中C是一個常數(shù)。這個公式用通俗的話來講就是：它的增長速度比n快一點，但快得非常有限。因為n越大，C/log log n就越接近0，所以整體增長速度仍然接近n的一次方。

長期以來，數(shù)學家普遍認為，平方網(wǎng)格類的構(gòu)造已經(jīng)接近這個問題的答案極限。埃爾德什也據(jù)此提出猜想：u(n)的上界應(yīng)當是n^(1+o(1))，這里的o(1)代表一個會隨著n增大逐漸趨近于0的量，換句話說，單位距離點對的數(shù)量可以略高于線性增長，但不應(yīng)該出現(xiàn)固定比例的指數(shù)優(yōu)勢。

OpenAI公布的全新結(jié)果打破了這個學界延續(xù)近八十年的預(yù)期。

OpenAI官方博客表示，模型構(gòu)造出了一族無限多的例子，對于無窮多個n，都可以在平面上放置n個點，得到至少n^(1+δ)個單位距離點對，這里δ是一個固定正數(shù)。最初AI給出的證明沒有給出δ的具體數(shù)值，但普林斯頓大學數(shù)學教授威爾·索溫（Will Sawin）后續(xù)改進后顯示，δ可以取0.014。

原本平方網(wǎng)格類構(gòu)造被認為已經(jīng)接近最優(yōu)結(jié)果，可OpenAI模型給出的新構(gòu)造，卻在無窮多個n上實現(xiàn)了固定指數(shù)優(yōu)勢，直接突破了n^(1+o(1))這個長期被認可的結(jié)論。

這件事給學界帶來震動，主要來自兩個層面。第一，這個問題本身分量極重：平面單位距離問題雖然描述簡單，但這么多年來實質(zhì)進展非常緩慢，下界的結(jié)論長期沿著埃爾德什早年的構(gòu)造推進，最好的上界O(n^(4/3))還是來自斯賓塞（Spencer）、塞邁雷迪（Szemerédi）和特羅特（Trotter）在1984年的研究成果。在此之后，塞凱伊（Székely）、卡茨（Katz）、席勒（Silier）、帕奇（Pach）、拉茲（Raz）、紹利莫西（Solymosi）等研究者都繼續(xù)研究過相關(guān)結(jié)構(gòu)，但核心的上下界之間仍然存在很大的空白。

第二，新證明用到的工具超出了很多人的預(yù)料。過去研究者討論這個問題，通常自然會想到幾何和組合結(jié)構(gòu)，但OpenAI模型給出的解題路徑，卻把這個問題引向了代數(shù)數(shù)論。

埃爾德什的早期構(gòu)造可以用高斯整數(shù)來理解。高斯整數(shù)的形式是a+bi，其中a和b都是整數(shù)，i是-1的平方根，它擴展了普通整數(shù)的范圍，還保留了類似唯一分解的性質(zhì)。借助這種結(jié)構(gòu)，就能解釋為什么部分縮放后的平方網(wǎng)格能產(chǎn)生很多單位距離。

該圖片由AI生成，僅供參考

OpenAI模型的新證明使用了更復(fù)雜的代數(shù)數(shù)域。代數(shù)數(shù)域可以理解為對普通有理數(shù)或整數(shù)的推廣，其中包含更豐富的對稱結(jié)構(gòu)。OpenAI認為，正是這些結(jié)構(gòu)制造出了大量單位長度差，才讓平面上的點能形成更多距離恰好為1的點對。

這份證明還用到了無限類域塔、戈洛德-沙法列維奇（Golod Shafarevich）理論等工具。這些概念在代數(shù)數(shù)論內(nèi)部并不陌生，但它們突然出現(xiàn)在歐氏平面的組合幾何問題中，帶來了很強的跨領(lǐng)域研究色彩。

外部數(shù)學家也把這一點看作這個成果的關(guān)鍵。配套論文作者之一托馬斯·布魯姆（Thomas Bloom）寫道，評價AI生成證明的重要性時，一個重要標準就是它有沒有讓人類對這個問題有更深的理解。在他看來，我們可以謹慎地給出肯定答案：這個結(jié)果說明，數(shù)論構(gòu)造對離散幾何問題的影響，可能比過去學界預(yù)想得要更深。

組合數(shù)學家諾加·阿隆表示，埃爾德什曾經(jīng)多次在講座中提到單位距離問題，幾乎每一位組合幾何研究者都思考過這個問題，還有很多其他領(lǐng)域的數(shù)學家也花時間研究過它。阿隆認為，OpenAI內(nèi)部模型解決這個長期公開問題是一項非常突出的成果，尤其讓人意外的是，正確答案并不在n^(1+o(1))這個長期預(yù)期里，而新構(gòu)造及其分析還用巧妙的方式使用了相當高級的代數(shù)數(shù)論工具。

菲爾茲獎得主蒂莫西·高爾斯（Tim Gowers）在配套論文中表示，這一成果是“AI數(shù)學的一個里程碑”。數(shù)論學者阿魯爾·尚卡爾（Arul Shankar）則認為，這篇論文說明，當前的AI模型已經(jīng)能夠提出原創(chuàng)又巧妙的想法，還能把這些想法推進成完整的證明。

AI踏入科研上游，人類專家該處在什么位置

OpenAI在官方博客里反復(fù)強調(diào)，模型本身的屬性是這件事的關(guān)鍵。

按照OpenAI的說法，這份證明來自一款全新的通用推理模型，它既沒有針對單位距離問題做專門訓練，也沒有被設(shè)計成專門的數(shù)學證明搜索系統(tǒng)。OpenAI是在一項更大范圍的評估中，讓模型處理一組埃爾德什提出的問題，最終模型在平面單位距離問題上給出了完整證明。

在驗證了初始證明之后，OpenAI還研究了不同測試計算量下，模型在這個問題上的解題成功率。

過去幾年，AI在數(shù)學領(lǐng)域的能力已經(jīng)提升得非常快：模型可以解數(shù)學競賽題，可以輔助形式化證明，可以幫忙檢索資料，也能生成證明草稿。但這些能力大多需要人類給出明確方向，或者仍然圍繞已有的知識體系展開工作。

OpenAI這次公布的案例，往前推進了一大步：模型面對一個長期開放的問題，自己提出新構(gòu)造，還完成了能讓外部專家審核的證明。換句話說，AI已經(jīng)開始觸碰數(shù)學研究里更核心的環(huán)節(jié)，也就是找到研究路徑本身。

數(shù)學非常適合檢驗這種能力，原因不難理解：這個領(lǐng)域的問題定義清晰，證明可以直接校驗，任何一處推理斷裂都會影響整個結(jié)果。如果一個模型能完成這類任務(wù)，就說明它能夠維持較長的推理鏈條，也能把距離很遠的知識工具放到同一個問題里搭配使用。

其實在規(guī)模更小的研究問題上，類似能力已經(jīng)有公開案例了。蒂莫西·高爾斯曾經(jīng)讓ChatGPT 5.5 Pro處理數(shù)論里的公開問題，模型在不到兩個小時里就給出了接近博士水平的數(shù)學研究成果，還顯著改進了已有的界限。

高爾斯稱，他自己幾乎沒有做任何數(shù)學貢獻，也沒有使用復(fù)雜的提示詞。相關(guān)問題來自數(shù)論學者梅爾·內(nèi)桑森（Mel Nathanson）的一篇論文，涉及整數(shù)和集合的可能大小，以及如何有效構(gòu)造擁有特定性質(zhì)的集合。一位參與研究的年輕學者認為，模型提出的關(guān)鍵想法“完全是原創(chuàng)的”。

把這些案例連起來看就能發(fā)現(xiàn)，生成式AI的角色正在發(fā)生變化：它正在從“會解題”進入“會做研究”的早期階段。模型不再只是在題目給定、方法明確的情況下給出答案，也開始在開放問題中提出構(gòu)造、改進邊界、尋找證明路線。

OpenAI也希望把這個案例推廣到更廣泛的科研場景中。官方博客提到，如果模型可以在數(shù)學中保持復(fù)雜論證的連貫性，連接不同知識領(lǐng)域，產(chǎn)出能經(jīng)得起專家審核的成果，那么類似的能力也有可能幫助生物學、物理學、材料科學、工程和醫(yī)學等領(lǐng)域的研究。

當然，這次解決難題的完整研究流程仍然離不開人類專家。AI證明的結(jié)果能被學界嚴肅討論，一個重要前提就是證明經(jīng)過了外部數(shù)學家的檢查，配套論文也給出了研究背景、解釋和數(shù)學脈絡(luò)。AI提出了關(guān)鍵突破，人類專家判斷它的正確性，解釋它的意義，還會繼續(xù)追問它能不能擴展到其他問題上。

簡單來說，AI遠遠沒辦法替代數(shù)學家，但很有可能改變數(shù)學研究的勞動結(jié)構(gòu)。尤其是當AI能夠批量提出復(fù)雜路徑之后，未來研究者的核心任務(wù)會越來越集中在三個方向：判斷問題是否重要，判斷結(jié)果是否可信，判斷哪條路線值得繼續(xù)投入研究。

而OpenAI的模型給出了一個連埃爾德什都從未想象過的構(gòu)造，這也是對這位生活方式極簡、四處游歷的數(shù)學頑童最好的致敬：解決問題的方式，或許比解決問題本身更讓人驚喜。

附上參考鏈接：

1. 完整證明過程

https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-proof.pdf

2. 配套論文

https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf

3. 模型推理思路

https://cdn.openai.com/pdf/1625eff6-5ac1-40d8-b1db-5d5cf925de8b/unit-distance-cot.pdf

4. OpenAI官方博客

https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/